Dérivation et convexité
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Compléments sur la dérivation
Composée de 2 fonctions
La fonction $u$ est définie sur un intervalle $I$ à valeurs dans $J$ et $v$ est définie sur $J$. La composée de $v$ par $u$ est notée $v \circ u$ et est définie par:
$$(v \circ u)(x)=v(u(x))$$
Composée et dérivée
Soit $u: I \rightarrow J$ dérivable sur $I$ et $v$ une fonction dérivable sur $J$. Alors $v \circ u$ est dérivable sur $I$ et
$$(v \circ u)'(x)=v'(u(x)) \times u'(x)$$
Formules
| Condition | Formule |
| $u$ est dérivable sur $I$, $n \in \Z$ n si $n<0$, $u$ ne doit pas s'annuler |
$(u^n)'=n\times u^{n-1}\times u'$ |
| $u$ est dérivable et ne s'annule pas sur $I$ | $(\dfrac{1}{u})'=\dfrac{-1}{u^2}$ |
| $u$ est strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$ | $(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ |
| $u$ est dérivable sur un intervalle $I$ | $(e^{u})'=u'\times e^u$ |
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