Sujets de Bac
2025
Primitives et équations différentielles
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Amerique Du Nord 21 Mai 2025 Jour 1
1 exercice
La partie C est indépendante des parties A et B.
Partie A
On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal, les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$, représentations graphiques de deux fonctions définies et dérivables sur $\mathbb{R}$. L'une des deux fonctions représentées est la fonction dérivée de l'autre. On les notera $g$ et $g'$.
On précise également que :
- La courbe $\mathcal{C}_{1}$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0~;~1)$.
- La courbe $\mathcal{C}_{2}$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0~;~2)$ et l'axe des abscisses aux points de coordonnées $(-2~;~0)$ et $(1~;~0)$.
- En justifiant, associer à chacune des fonctions $g$ et $g'$ sa représentation graphique.
- Justifier que l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse 0 est $y=2x + 1$.
Partie B
On considère $(E)$ l'équation différentielle
$$y+y'=(2x + 3) \mathrm{e}^{-x},$$où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$.
- Montrer que la fonction $f_{0}$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f_{0}(x)=\left(x^{2}+3 x\right) \mathrm{e}^{-x}$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
- Résoudre l'équation différentielle $\left(E_{0}\right): y+ y'= 0$.
- Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$.
- On admet que la fonction $g$ décrite dans la partie A est une solution de l'équation différentielle $(E)$.
Déterminer alors l'expression de la fonction $g$. - Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$ dont la courbe admet exactement deux points d'inflexion.
Partie C
On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par :
$$f(x)=\left(x^{2}+3 x+2\right) \mathrm{e}^{-x}$$- Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à 0.
On admet par ailleurs que la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ est égale à $+\infty$. - On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\mathbb{R}$.
- Vérifier que, pour tout nombre réel $x$, $f'(x)=\left(-x^{2}-x+1\right) \mathrm{e}^{-x}$.
- Déterminer le signe de la fonction dérivée $f'$ sur $\mathbb{R}$ puis en déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
- Expliquer pourquoi la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0;+\infty[$.
- On notera $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal $(O;\vec{i},\vec{j})$. On admet que la fonction $F$ définie pour tout nombre réel $x$ par $F(x)=\left(-x^{2}-5 x-7\right) \mathrm{e}^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$.
Soit $\alpha$ un nombre réel positif.
Déterminer l'aire $\mathcal{A}(\alpha)$, exprimée en unité d'aire, du domaine du plan délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équation $x=0$ et $x=\alpha$.
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