Calculer les dérivées des fonctions suivantes après avoir déterminé leur intervalle de définition et dérivabilité.

1. $f(x)=3(ln(x))^2$
2. $g(x)=5(x+1)^2ln(x)$
3. $h(x)=ln(x^2-5x-6)$
4. $j(x)=ln(1+e^{-10x})$
5. $k(x)=\dfrac{5x-ln(x)}{x^2+1}$

Résoudre les équations suivantes après avoir effectué un changement de variable.

1. $ln(x)^2+ln(x)-12=0$
2. $-3e^x+e^{-x}+2=0$
3. $4ln(x)^2-ln(\dfrac{1}{x})-3=0$
4. $2e^{2x}-11e^x+12=0$

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$, et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=e\times \sqrt{u_n}$$

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $$1\leq u_n \leq e^2$$.
2. Démontrer que $(u_n)$ est croissante et en déduire qu'elle est convergente.
3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $$v_n=ln(u_n)-2$$
   1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$
   2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $$v_n=-\frac{1}{2^{n-1}}$$
   3. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis la limite de la suite $(u_n)$.

Résoudre dans $\R$ les équations ou inéquations suivantes.

1. $ln(6x-2)+ln(2x-1)=ln(x)$
2. $ln(x^2-4)\leq ln(2)+ln(x)$
3. $ln(x-1)-ln(x+2)=ln(4)$

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\frac{ln(x)}{x}$

1. Déterminer l'ensemble de définition $\cal{D}_f$ de $f$.
2. Démontrer que la courbe admet une asymptote horizontale.
3. Déterminer la limite de $f$ en $0$.
4. Étudier les variation de $f$ sur $\cal{D}_f$