On souhaite résoudre l'équation $(E): e^x=x+2$ dans $\R$. Pour cela on va étudier la fonction $f(x)=e^x-x-2$

1. Dresser la tableau de variations de $f$ sur $\R$
2. Déterminer le nombre de solutions de $(E)$
3. Préciser ce que fait l'algorithme ci-dessous

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par: $$f(x)=-x^4+2x^3+3x+1$$

1. Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$ puis dresser le tableau de variations de $f'$
2. En déduire que l'équation $f'(x)=0$ admet une unique solution sur $\R$ notée $\alpha$.
3. Dresser le tableau de signe de $f'$ puis le tableau de variations de $f$.

On considère la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x^3}{x-1}$

1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$ puis dresser le tableau de variations de $f$
2. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$

On considère la suite définie par $\begin{cases}u_{0}=\frac{1}{2}\\ u_{n+1}=\frac{4u_n}{1+3u_n}\end{cases}$

1. Déterminer la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$ et donner son ensemble de définition
2. Etudier les variation de $f$ sur $\R$
3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ on a $\frac{1}{2}\leq u_n \leq u_{n+1} \leq 2$
4. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer la valeur de sa limite

On considère une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite d'éléments de $I$ telle que $\lim\limits_{n \to +\infin }u_n=a et $u_{n+1}=f(u_n)$.

1. Rappeler la définition de "$f$ est continue en $a$"
2. En utilisant la propriété de composition des limites en déduire que $\lim\limits_{n \to +\infin }f(u_n)=f(a)$
3. Conclure

Montrer que l'équation $x^3-5x^2+3x+1=0$ admet exactement trois solutions réelles.