Sujets de Bac
2024
Loi binomiale
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Amerique Du Nord 21 Mai 2024 Jour 1
1 exercice
Un jeu vidéo récompense par un objet tiré au sort les joueurs ayant remporté un défi. L’objet tiré peut être « commun » ou « rare ». Deux types d'objets communs ou rares sont disponibles, des épées et des boucliers.
Les concepteurs du jeu vidéo ont prévu que :
— la probabilité de tirer un objet rare est de 7 % ;
— si on tire un objet rare, la probabilité que ce soit une épée est de 80 % ;
— si on tire un objet commun, la probabilité que ce soit une épée est de 40 %.
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
Un joueur vient de remporter un défi et tire au sort un objet. On note :
- $R$ l'évènement « le joueur tire un objet rare » ;
- $E$ l'évènement « le joueur tire une épée » ;
- $\overline{R}$ et $\overline{E}$ et les évènements contraires des évènements $R$ et $E$.
- Dresser un arbre pondéré modélisant la situation, puis calculer $P(R \cap E)$.
- Calculer la probabilité de tirer une épée.
- Le joueur a tiré une épée. Déterminer la probabilité que ce soit un objet rare. Arrondir le résultat au millième.
Partie B
Un joueur remporte 30 défis. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre d’objets rares que le joueur obtient après avoir remporté 30 défis. Les tirages successifs sont considérés comme indépendants.
- Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres, ainsi que son espérance.
- Déterminer $P(X < 6)$. Arrondir le résultat au millième.
- Déterminer la plus grande valeur de $k$ telle que $P(X \geq k) \geq 0,5$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
- Les développeurs du jeu vidéo veulent proposer aux joueurs d’acheter un « ticket d’or » qui permet de tirer $N$ objets. La probabilité de tirer un objet rare reste de 7 %.
Les développeurs aimeraient qu’en achetant un ticket d’or, la probabilité qu’un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces $N$ tirages soit supérieure ou égale à 0,95. Déterminer le nombre minimum d’objets à tirer pour atteindre cet objectif. On veillera à détailler la démarche mise en œuvre.
Amerique Du Nord 22 Mai 2024 Jour 2
1 exercice
Les données publiées le 1er mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes :
- 22,86 % des véhicules étaient des véhicules neufs ;
- 8,08 % des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables ;
- 1,27 % des véhicules d’occasion (c’est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.
Dans tout l’exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.
Partie I
Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022. On note :
- $N$ l’évènement « le véhicule est neuf » ;
- $R$ l’évènement « le véhicule est hybride rechargeable » ;
- $\overline{N}$ et $\overline{R}$ les évènements contraires des évènements contraires de $ N $ et $ R $.
- Représenter la situation par un arbre pondéré.
- Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.
- Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est 0,0283.
- Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu’il est hybride rechargeable.
Partie II
Dans cette partie, on choisit 500 véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022.
Dans la suite, on admettra que la probabilité qu’un tel véhicule soit neuf est égale à 0,65.
On assimile le choix de ces 500 véhicules à un tirage aléatoire avec remise.
On appelle $ X $ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les 500 véhicules choisis.
- On admet que la variable aléatoire $ X $ suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.
- Déterminer la probabilité qu’exactement 325 de ces véhicules soient neufs.
- Déterminer la probabilité $ p(X \geq 325) $ puis interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
Partie III
On choisit désormais $ n $ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où $ n $ désigne un entier naturel strictement positif.
On rappelle que la probabilité qu’un tel véhicule soit neuf est égale à 0,65.
On assimile le choix de ces $ n $ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.
- Donner l’expression en fonction de $ n $ de la probabilité $ p_n $ que tous ces véhicules soient d’occasion.
- On note $ q_n $ la probabilité qu’au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de $ n $ telle que $ q_n \geq 0,9999 $.
Asie 10 Juin 2024 Jour 1
1 exercice
Dans la revue Lancet Public Health, les chercheurs affirment qu’au 11 mai 2020, 5,7 % des adultes français avaient déjà été infectés par la COVID 19.
Source : https://www.thelancet.com/journals/lanpub/article/PIIS2468-2667(21)00064-5/fulltext
On se servira de cette donnée pour les parties A et B de cet exercice.
Partie A
- On prélève un individu dans la population française adulte au 11 mai 2020.
On note $ I $ l’évènement : « l’adulte a déjà été infecté par la COVID 19 ».
Quelle est la probabilité que cet individu prélevé ait déjà été infecté par la COVID 19 ? - On prélève un échantillon de 100 personnes de la population supposées choisies de façon indépendante les unes des autres.
On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.
On appelle $ X $ la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes ayant déjà été infectées.- Justifiez que $ X $ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
- Calculer son espérance mathématique. Interpréter ce résultat dans le cadre de l’exercice.
- Quelle est la probabilité qu’il n’y ait aucune personne infectée dans l’échantillon ?
On donnera une valeur approchée à $ 10^{-4} $ près du résultat. - Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins 2 personnes infectées dans l’échantillon ?
On donnera une valeur approchée à $ 10^{-4} $ près du résultat. - Déterminer le plus petit entier $ n $ tel que $ P(X \leq n) > 0,9 $.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
Partie B
Un test a été mis en place : celui-ci permet de déterminer (même longtemps après l’infection), si une personne a ou non déjà été infectée par la COVID 19.
Si le test est positif, cela signifie que la personne a déjà été infectée par la COVID 19.
Deux paramètres permettent de caractériser ce test : sa sensibilité et sa spécificité.
La sensibilité d’un test est la probabilité qu’il soit positif sachant que la personne a été infectée par la maladie. (Il s’agit donc d’un vrai positif).
La spécificité d’un test est la probabilité que le test soit négatif sachant que la personne n’a pas été infectée par la maladie. (Il s’agit donc d’un vrai négatif).
Le fabricant du test fournit les caractéristiques suivantes :
- Sa sensibilité est de 0,8.
- Sa spécificité est de 0,99.
On prélève un individu soumis au test dans la population française adulte au 11 mai 2020.
On note $ T $ l’évènement « le test réalisé est positif ».
- Compléter l’arbre des probabilités ci-dessous avec les données de l’énoncé :
- Montrer que $ p(T) = 0,05503 $.
- Quelle est la probabilité qu’un individu ait été infecté sachant que son test est positif ?
On donnera une valeur approchée à $ 10^{-4} $ près du résultat.
Partie C
On considère un groupe d’une population d’un autre pays soumis au même test de sensibilité 0,8 et de spécificité 0,99.
Dans ce groupe la proportion d’individus ayant un test positif est de 29,44 %.
On choisit au hasard un individu de ce groupe ; quelle est la probabilité qu’il ait été infecté ?
Asie 11 Juin 2024 Jour 2
1 exercice
Léa passe une bonne partie de ses journées à jouer à un jeu vidéo et sintéresse aux chances de victoire de ses prochaines parties.
Elle estime que si elle vient de gagner une partie, elle gagne la suivante dans 70 % des cas.
Mais si elle vient de subir une défaite, dprès elle, la probabilité qulle gagne la suivante est de 0,2.
De plus, elle pense avoir autant de chance de gagner la première partie que de la perdre.
On s'appuiera sur les affirmations de Léa pour répondre aux questions de cet exercice.
Pour tout entier naturel $ n $ non nul, on définit les évènements suivants :
- $ G_n $ : « Léa gagne la $ n $-ième partie de la journée »;
- $ D_n $ : « Léa perd la $ n $-ième partie de la journée ».
Pour tout entier naturel $ n $ non nul, on note $ g_n $ la probabilité de lévènement $ G_n $.
On a donc $ g_1 = 0,5 $.
- Quelle est la valeur de la probabilité conditionnelle $ p_{G_1}(D_2) $ ?
- Recopier et compléter lrbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premières parties de la journée :
- Calculer $ g_2 $.
- Soit $ n $ un entier naturel non nul.
- Recopier et compléter l'arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les $ n $-ième et $ (n+1) $-ième parties de la journée.
- Justifier que pour tout entier naturel $ n $ non nul, $$ g_{n+1} = 0,5g_n + 0,2. $$
- Recopier et compléter l'arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les $ n $-ième et $ (n+1) $-ième parties de la journée.
- Pour tout entier naturel $ n $ non nul, on pose $ v_n = g_n - 0,4 $.
- Montrer que la suite $ (v_n) $ est géométrique.
On précisera son premier terme et sa raison. - Montrer que, pour tout entier naturel $ n $ non nul : $$ g_n = 0,1 \times 0,5^{n-1} + 0,4. $$
- Montrer que la suite $ (v_n) $ est géométrique.
- Étudier les variations de la suite $ (g_n) $.
- Donner, en justifiant, la limite de la suite $ (g_n) $.
Interpréter ce résultat dans le contexte de lénoncé. - Déterminer, par le calcul, le plus petit entier $ n $ tel que $ g_n - 0,4 \leq 0,001 $.
- Recopier et compléter les lignes 4, 5 et 6 de la fonction suivante, écrite en langage Python, afin qulle renvoie le plus petit rang $ n $ à partir duquel les termes de la suite $ (g_n) $ sont tous inférieurs ou égaux à $ 0,4 + e $, où $ e $ est un nombre réel strictement positif.
def seuil(e): g=0.5 n=1 while ... : g = 0.5g+0.2 n = ... return(n)
Metropole 19 Juin 2024 Jour 1
1 exercice
Une agence de marketing a étudié la satisfaction des clients concernant le service clientèle à l'occasion de l'achat d'un téléviseur. Ces achats ont été réalisés soit sur internet, soit dans une chaîne de magasins d'électroménager, soit dans une enseigne de grandes surfaces.
Les achats sur internet représentent $60\%$ des ventes, les achats en magasin d'électroménager $30\%$ des ventes et ceux en grandes surfaces $10\%$ des ventes.
Une enquête montre que la proportion des clients satisfaits du service clientèle est de :
- $75\%$ pour les clients sur internet ;
- $90\%$ pour les clients en magasin d'électroménager ;
- $80\%$ pour les clients en grande surface.
On choisit au hasard un client ayant acheté le modèle de téléviseur concerné.
On définit les évènements suivants :
- $I$ : « le client a effectué son achat sur internet » ;
- $M$ : « le client a effectué son achat en magasin d'électroménager » ;
- $G$ : « le client a effectué son achat en grande surface » ;
- $S$ : « le client est satisfait du service clientèle ».
Si $A$ est un évènement quelconque, on notera $\overline{A}$ son évènement contraire et $P(A)$ sa probabilité.
- Reproduire et compléter l'arbre ci-contre.
- Calculer la probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle.
- Démontrer que $P(S) = 0.8$.
- Un client est satisfait du service clientèle. Quelle est la probabilité qu'il ait effectué son achat sur internet ? On donnera un résultat arrondi à $10^{-3}$ près.
-
Pour réaliser l'étude, l'agence doit contacter chaque jour 30 clients parmi les acheteurs du téléviseur. On suppose que le nombre de clients est suffisamment important pour assimiler le choix des 30 clients à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 30 clients, associe le nombre de clients satisfaits du service clientèle.
- Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
- Déterminer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu'au moins 25 clients soient satisfaits dans un échantillon de 30 clients contactés sur une même journée.
- En résolvant une inéquation, déterminer la taille minimale de l'échantillon de clients à contacter pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux ne soit pas satisfait soit supérieure à $0.99$.
-
Dans les deux questions a. et b. qui suivent, on ne s'intéresse qu'aux seuls achats sur internet.
Lorsqu'une commande de téléviseur est passée par un client, on considère que le temps de livraison du téléviseur est modélisé par une variable aléatoire $T$ égale à la somme de deux variables aléatoires $T_1$ et $T_2$.La variable aléatoire $T_1$ modélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis un entrepôt de stockage vers une plateforme de distribution. La variable aléatoire $T_2$ modélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis cette plateforme jusqu'au domicile du client.
On admet que les variables aléatoires $T_1$ et $T_2$ sont indépendantes, et on donne :
- L'espérance $E(T_1) = 4$ et la variance $V(T_1) = 2$ ;
- L'espérance $E(T_2) = 3$ et la variance $V(T_2) = 1$.
- Déterminer l'espérance $E(T)$ et la variance $V(T)$ de la variable aléatoire $T$.
- Un client passe une commande de téléviseur sur internet. Justifier que la probabilité qu'il reçoive son téléviseur entre 5 et 9 jours après sa commande est supérieure ou égale à $\dfrac{2}{3}$.
Metropole 20 Juin 2024 Jour 2
1 exercice
La directrice d'une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l'examen de fin d'étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen.
Pour cette étude, on demande aux étudiants à l'issue de l'examen de répondre individuellement à la question : « Pensez-vous avoir réussi l'examen ? »
Seules les réponses « oui » ou « non » sont possibles, et on observe que $91,7 %$ des étudiants interrogés ont répondu « oui ».
Suite à la publication des résultats à l'examen, on découvre que :
- $65\%$ des étudiants ayant échoué ont répondu « non » ;
- $98\%$ des étudiants ayant réussi ont répondu « oui ».
On interroge au hasard un étudiant qui a passé l'examen.
On note $R$ l'évènement « l'étudiant a réussi l'examen » et $Q$ l'évènement « l'étudiant a répondu « oui » à la question ».
Pour un évènement $A$ quelconque, on note $P(A)$ sa probabilité et $\overline{A}$ son évènement contraire.
Dans tout l'exercice, les probabilités sont, si besoin, arrondies à $10^{-3}$ près.
- Préciser les valeurs des probabilités $P(Q)$ et $P_{\overline{R}}(\overline{Q})$.
-
On note $x$ la probabilité que l'étudiant interrogé ait réussi l'examen.
- Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
- Montrer que $x = 0,9$.
- L'étudiant interrogé a répondu « oui » à la question.
Quelle est la probabilité qu'il ait réussi l'examen ? - La note obtenue par un étudiant interrogé au hasard est un nombre entier entre 0 et 20. On suppose qu'elle est modélisée par une variable aléatoire $N$ qui suit la loi binomiale de paramètres $ (20;~0,615) $.
La directrice souhaite attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu les meilleurs résultats.
À partir de quelle note doit-elle attribuer les récompenses pour que $65%$ des étudiants soient récompensés ? - On interroge au hasard dix étudiants.
Les variables aléatoires $N_1, N_2, \dots, N_{10}$ modélisent la note sur 20 obtenue à l'examen par chacun d'entre eux. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale de paramètres $ (20;~0,615) $.
Soit $S$ la variable définie par : $$ S = N_1 + N_2 + \dots + N_{10}. $$ Calculer l'espérance $E(S)$ et la variance $V(S)$ de la variable aléatoire $S$. -
On considère la variable aléatoire $M = \dfrac{S}{10}$.
- Que modélise cette variable aléatoire $M$ dans le contexte de l'exercice ?
- Justifier que $E(M) = 12,3$ et $V(M) = 0,47355$.
- À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, justifier l'affirmation suivante :
« La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre 10,3 et 14,3 est d'au moins $80\%$. »
Polynesie 19 Juin 2024 Jour 1
1 exercice
Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles.
Partie A
On lance trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois, sur les trois lancers, où la pièce est retombée du côté « Face ».
- Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
- Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$ :
| $k$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| $P(X=k)$ |
Partie B
Voici les règles d'un jeu où le but est d'obtenir trois pièces du côté « Face » en un ou deux essais :
- On lance trois pièces équilibrées :
- Si les trois pièces sont tombées du côté « Face », la partie est gagnée ;
- Sinon, les pièces tombées du côté « Face » sont conservées et on relance celles tombées du côté « Pile ».
- La partie est gagnée si on obtient trois pièces du côté « Face », sinon elle est perdue.
On considère les évènements suivants :
- $G$ : « la partie est gagnée ».
Et pour tout entier $k$ compris entre 0 et 3, les évènements : - $A_k$ : « $k$ pièces sont tombées du côté « Face » au premier lancer ».
- Démontrer que $P_{A_1}(G) = \dfrac14$.
- Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous :
- Démontrer que la probabilité $p$ de gagner à ce jeu est $p = \dfrac{27}{64}$.
- La partie a été gagnée. Quelle est la probabilité qu'exactement une pièce soit tombée du côté « Face » à la première tentative ?
- Combien de fois faut-il jouer à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse $0,95$ ?
Polynesie 20 Juin 2024 Jour 2
1 exercice
Un sondage réalisé en France fournit les informations suivantes :
- 60 % des plus de 15 ans ont l'intention de regarder les Jeux Olympiques et Paralympiques (JOP) de Paris 2024 à la télévision ;
- Parmi ceux qui ont l'intention de regarder les JOP, 8 personnes sur 9 déclarent pratiquer une activité sportive régulière.
On choisit au hasard une personne de plus de 15 ans. On considère les évènements suivants :
- $ J $ : « la personne a l'intention de regarder les JOP Paris 2024 à la télévision » ;
- $ S $ : « la personne choisie déclare pratiquer une activité sportive régulière ».
On note $ \overline{J} $ et $ \overline{S} $ leurs évènements contraires.
Dans les questions 1 et 2, les probabilités seront données sous la forme d'une fraction irréductible.
- Démontrer que la probabilité que la personne choisie ait l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est de $\dfrac{8}{15}.$
On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.
Selon ce sondage, deux personnes sur trois parmi les plus de 15 ans déclarent pratiquer une activité sportive régulière.
-
- Calculer la probabilité que la personne choisie n'ait pas l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière.
- En déduire la probabilité de $ S $ sachant $ \overline{J} $, notée $ P_{\overline{J}}(S) $.
Dans la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis au millième.
- Dans le cadre d'une opération de promotion, 30 personnes de plus de 15 ans sont choisies au hasard.
On assimile ce choix à un tirage avec remise.
On note $ X $ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi les 30 personnes. - Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $ X $.
- Calculer la probabilité qu'exactement 16 personnes déclarent pratiquer une activité sportive régulière parmi les 30 personnes.
- La fédération française de judo souhaite offrir une place pour la finale de l’épreuve par équipe mixte de judo à l’Arena Champ-de-Mars pour chaque personne déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi ces 30 personnes.
Le prix d’une place s’élève à 380 € et on dispose d’un budget de 10 000 euros pour cette opération.
Quelle est la probabilité que ce budget soit insuffisant ?
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