Sujets de Bac
2024
Limites de fonctions
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Asie 10 Juin 2024 Jour 1
1 exercice
Partie A
On considère une fonction $ f $ définie sur $ [0 ; +\infty[ $, représentée par la courbe $C_f$ ci-dessous.
La droite $ T $ est tangente à la courbe $C_f$ au point $ A $ d'abscisse $\dfrac{5}{2}$.
- Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ [0 ; 5] $.
- Que semble présenter la courbe $C_f$ au point $ A $ ?
- La dérivée $ f' $ et la dérivée seconde $ f'' $ de la fonction $ f $ sont représentées par les courbes ci-dessous.
Associer à chacune de ces deux fonctions la courbe qui la représente.
Ce choix sera justifié. 
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La courbe $C_3 $ ci-contre peut-elle être la représentation graphique sur $ [0 ; +\infty[ $ d’une primitive de la fonction $f$ ? Justifier.
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Partie B
Dans cette partie, on considère que la fonction $ f $, définie et deux fois dérivable sur $ [0 ; +\infty[ $, est définie par : $$ f(x) = (4x - 2)e^{-x+1}. $$
On notera respectivement $ f' $ et $ f'' $ la dérivée et la dérivée seconde de la fonction $ f $.
- Étude de la fonction $ f $
- Montrer que $ f'(x) = (-4x + 6)e^{-x+1} $.
- Utiliser ce résultat pour déterminer le tableau complet des variations de la fonction $ f $ sur $ [0 ; +\infty[ $. On admet que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0 $.
- Étudier la convexité de la fonction $ f $ et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de $ f $.
- On considère une fonction $ F $ définie sur $ [0 ; +\infty[ $ par $ F(x) = (ax + b)e^{-x+1} $, où $ a $ et $ b $ sont deux nombres réels.
- Déterminer les valeurs des réels $ a $ et $ b $ telles que la fonction $ F $ soit une primitive de la fonction $ f $ sur $ [0 ; +\infty[ $.
- On admet que $ F(x) = (-4x - 2)e^{-x+1} $ est une primitive de la fonction $ f $ sur $ [0 ; +\infty[ $.
En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à $ 10^{-2} $ près, de l'intégrale $$ I = \int_{\frac{3}{2}}^{8} f(x) \, dx. $$
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Une municipalité a décidé de construire une piste de trottinette freestyle.
Le profil de cette piste est donné par la courbe représentative de la fonction $ f $ sur l'intervalle $ [\dfrac{3}{2} ; 8] $.
L'unité de longueur est le mètre. 
- Donner une valeur approchée au cm près de la hauteur du point de départ $ D $.
- La municipalité a organisé un concours de graffiti pour orner le mur de profil de la piste. L'artiste retenue prévoit de couvrir environ 75 % de la surface du mur.
Sachant qu'une bombe aérosol de 150 mL permet de couvrir une surface de 0,8 m$ ^2 $, déterminer le nombre de bombes qu'elle devra utiliser pour réaliser cette œuvre.
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Asie 11 Juin 2024 Jour 2
1 exercice
On considère la fonction $ f $ définie sur $ ]0 ; +\infty[ $ par :
$$
f(x) = x^2 - x\ln(x).
$$
On admet que $ f $ est deux fois dérivable sur $ ]0 ; +\infty[ $.
On note $ f' $ la fonction dérivée de la fonction $ f $ et $ f'' $ la fonction dérivée de la fonction $ f' $.
Partie A : Étude de la fonction $ f $
- Déterminer les limites de la fonction $ f $ en 0 et en $ +\infty $.
- Pour tout réel $ x $ strictement positif, calculer $ f'(x) $.
- Montrer que pour tout réel $ x $ strictement positif : $$ f''(x) = \frac{2x - 1}{x}. $$
- Étudier les variations de la fonction $ f' $ sur $ ]0 ; +\infty[ $, puis dresser le tableau des variations de la fonction $ f' $ sur $ ]0 ; +\infty[ $.
On veillera à faire apparaître la valeur exacte de l’extrémum de la fonction $ f' $ sur $ ]0 ; +\infty[ $.
Les limites de la fonction $ f' $ aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues. - Montrer que la fonction $ f $ est strictement croissante sur $ ]0 ; +\infty[ $.
Partie B : Étude d’une fonction auxiliaire pour la résolution de l’équation $ f(x) = x $
On considère dans cette partie la fonction $ g $ définie sur $ ]0 ; +\infty[ $ par :
$$
g(x) = x - \ln(x).
$$
On admet que la fonction $ g $ est dérivable sur $ ]0 ; +\infty[ $, on note $ g' $ sa dérivée.
- Pour tout réel strictement positif, calculer $ g'(x) $, puis dresser le tableau des variations de la fonction $ g $.
Les limites de la fonction $ g $ aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues. - On admet que 1 est l’unique solution de l’équation $ g(x) = 1 $.
Résoudre, sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $, l’équation $ f(x) = x $.
Partie C : Étude d’une suite récurrente
On considère la suite $ (u_n) $ définie par $ u_0 = \frac{1}{2} $ et pour tout entier naturel $ n $, $$ u_{n+1} = f(u_n) = u_n^2 - u_n\ln(u_n). $$
- Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $ n $ : $$ \frac{1}{2} \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 1. $$
- Justifier que la suite $ (u_n) $ converge.
On appelle $ \ell $ la limite de la suite $ (u_n) $ et on admet que $ \ell $ vérifie l’égalité $ f(\ell) = \ell $. - Déterminer la valeur de $ \ell $.
Centres Etrangers 6 Juin 2024 Jour 2
1 exercice
On considère la fonction $ f $ définie sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $ par : $$ f(x) = \frac{e^x}{x - 1}. $$
On admet que la fonction $ f $ est dérivable sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $.
On appelle $ \mathcal{C} $ sa courbe représentative dans un repère.
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- Déterminer la limite de la fonction $ f $ en 1.
- En déduire une interprétation graphique.
- Déterminer la limite de la fonction $ f $ en $ -\infty $.
-
- Montrer que pour tout réel $ x $ de l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $, on a : $$ f'(x) = \frac{(x - 2)e^x}{(x - 1)^2}. $$
- Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $.
- On admet que pour tout réel $ x $ de l’intervalle $ ] - \infty ; 1[ $, on a :
$$
f''(x) = \frac{(x^2 - 4x + 5)e^x}{(x - 1)^3}.
$$
- Étudier la convexité de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $.
- Déterminer l’équation réduite de la tangente $ T $ à la courbe $ \mathcal{C} $ au point d’abscisse 0.
- En déduire que, pour tout réel $ x $ de l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $, on a : $$ e^x \geq (-2x - 1)(x - 1). $$
-
- Justifier que l’équation $ f(x) = -2 $ admet une unique solution $ \alpha $ sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $.
- À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $ \alpha $ d’amplitude $ 10^{-2} $.
Metropole 19 Juin 2024 Jour 1
2 exercices
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=5x\mathrm{e}^{-x}$.
On note $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.Affirmation 1 :
L'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe $C_f$.
Affirmation 2 :
La fonction $f$ est solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $(E)$ : $y' + y = 5\mathrm{e}^{-x}$.
-
On considère les suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$, telles que, pour tout entier naturel $n$ : $$ u_n \leqslant v_n \leqslant w_n. $$
De plus, la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $-1$ et la suite $\left(w_n\right)$ converge vers $1$.
Affirmation 3 :
La suite $\left(v_n\right)$ converge vers un nombre réel $\ell$ appartenant à l'intervalle $[-1; 1]$.
On suppose de plus que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante et que la suite $\left(w_n\right)$ est décroissante.
Affirmation 4 :
Pour tout entier naturel $n$, on a alors : $u_0 \leqslant v_n \leqslant w_0$.
Partie A : étude de la fonction $f$
La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0 ~;~+\infty[$ par :
$f(x) = x - 2 + \dfrac{1}{2} \ln x,$
où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0 ~;~ +\infty[$. On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.
-
- Déterminer, en justifiant, les limites de $f$ en 0 et en $+\infty$.
- Montrer que pour tout $x$ appartenant à $]0 ~;~+\infty[$, on a : $f'(x) = \dfrac{2x + 1}{2x}$.
- Étudier le sens de variation de $f$ sur $]0 ~;~+\infty[$.
- Étudier la convexité de $f$ sur $]0 ~;~+\infty[$.
-
- Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet dans $]0 ~;~+\infty[$ une solution unique qu'on notera $\alpha$ et justifier que $\alpha$ appartient à l'intervalle $[1~;~2]$.
- Déterminer le signe de $f(x)$ pour $x \in ]0 ~;~+\infty[$.
- Montrer que $\ln(\alpha) = 2(2-\alpha)$.
Partie B : étude de la fonction $g$
La fonction $g$ est définie sur $]0~;~1]$ par :
$g(x) = -\dfrac{7}{8}x^{2} + x - \dfrac{1}{4}x^{2}\ln x.$
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0~;~1]$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.
- Calculer $g'(x)$ pour $x \in ]0~;~1]$ puis vérifier que $g'(x) = x f\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
-
- Justifier que pour $x$ appartenant à l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{1}{\alpha}\right[$, on a $f\left(\dfrac{1}{x}\right) > 0$.
- On admet le tableau de signes suivant :
En déduire le tableau de variations de $g$ sur l'intervalle $]0~;~1]$. Les images et les limites ne sont pas demandées.
Partie C : un calcul d'aire
On a représenté sur le graphique ci-dessous :
- La courbe $\mathcal{C}_{g}$ de la fonction $g$ ;
- La parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y = -\dfrac{7}{8}x^{2} + x$ sur l'intervalle $]0~;~1]$.
On souhaite calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine hachuré compris entre les courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{P}$, et les droites d'équations $x = \dfrac{1}{\alpha}$ et $x = 1$.
On rappelle que $\ln(\alpha) = 2(2-\alpha)$.
-
- Justifier la position relative des courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{P}$ sur l'intervalle $\left]0~;~1\right]$.
- Démontrer l'égalité :
$$ \int_{\frac{1}{\alpha}}^{1} x^{2} \ln x \,\mathrm{d}x = \dfrac{-\alpha^{3} - 6\alpha + 13}{9\alpha^{3}}. $$
- En déduire l'expression en fonction de $\alpha$ de l'aire $\mathcal{A}$.
Metropole 20 Juin 2024 Jour 2
2 exercices
Les parties A et B sont indépendantes
Alain possède une piscine qui contient $50 ~\mathrm{m}^{3}$ d'eau. On rappelle que $1 ~\mathrm{m}^{3} = 1000 \mathrm{L}$.
Pour désinfecter l'eau, il doit ajouter du chlore.
Le taux de chlore dans l'eau, exprimé en $ \mathrm{mg} \cdot \mathrm{L}^{-1} $, est défini comme la masse de chlore par unité de volume d'eau. Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre $1$ et $3~\mathrm{mg \cdot L}^{-1}$.
Sous l'action du milieu ambiant, notamment des ultraviolets, le chlore se décompose et disparaît peu à peu.
Alain réalise certains jours, à heure fixe, des mesures avec un appareil qui permet une précision à $0,01 ~\mathrm{mg \cdot L}^{-1}$. Le mercredi 19 juin, il mesure un taux de chlore de $0,70 ~\mathrm{mg \cdot L}^{-1}$.
Partie A : étude d'un modèle discret.
- Justifier que cet ajout de chlore fait augmenter le taux de $0,3, \mathrm{mg \cdot L}^{-1}$.
-
- Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ le taux de chlore, en $ \mathrm{mg \cdot L}^{-1} $, obtenu avec ce nouveau protocole $n$ jours après le mercredi 19 juin. Ainsi $v_{0}=0,7$.
On admet que pour tout entier naturel $n$, $$ v_{n+1}=0,92 v_{n}+ 0,3. $$ - Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $$ v_{n} \leqslant v_{n+1} \leqslant 4. $$
- Montrer que la suite $ (v_{n}) $ est convergente et calculer sa limite.
- Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ le taux de chlore, en $ \mathrm{mg \cdot L}^{-1} $, obtenu avec ce nouveau protocole $n$ jours après le mercredi 19 juin. Ainsi $v_{0}=0,7$.
- À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation des piscinistes ? Justifier la réponse.
- Reproduire et compléter l'algorithme ci-après écrit en langage Python pour que la fonction
alerte_chlorerenvoie, lorsqu'il existe, le plus petit entier $n$ tel que $v_{n}> s$. - Quelle valeur obtient-on en saisissant l'instruction
alerte_chlore(3)? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
def alerte_chlore(s):
n = 0
u = 0.7
while ...:
n = ...
u = ...
return n
Partie B : étude d'un modèle continu.
Alain décide de faire appel à un bureau d'études spécialisées. Celui-ci utilise un modèle continu pour décrire le taux de chlore dans la piscine.
Dans ce modèle, pour une durée $x$ (en jours écoulés à compter du mercredi 19 juin), $f(x)$ représente le taux de chlore, en $ \mathrm{mg} \cdot \mathrm{L}^{-1} $, dans la piscine.
On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ : $$ y'=-0,08 y+\frac{q}{50}, $$ où $q$ est la quantité de chlore, en grammes, rajoutée dans la piscine chaque jour.
- Justifier que la fonction $f$ est de la forme : $$ f(x)=C e^{-0,08 x}+\frac{q}{4}, $$ où $C$ est une constante réelle.
-
- Exprimer en fonction de $q$ la limite de $f$ en $+\infty$.
- On rappelle que le taux de chlore observé le mercredi 19 juin est égal à $0,7~\mathrm{mg \cdot L}^{-1}$.
On souhaite que le taux de chlore se stabilise à long terme autour de $2~\mathrm{mg \cdot L}^{-1}$. Déterminer les valeurs de $C$ et $q$ afin que ces deux conditions soient respectées.
On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $]-2 ~;~+\infty[$. On note $ \mathcal{C}_{f} $ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.
On a tracé ci-dessous la courbe $ \mathcal{C}_{f} $ et sa tangente $T$ au point $B$ d'abscisse $-1$.
On précise que la droite $T$ passe par le point $A(0 ~;~ -1)$.
Partie A : exploitation du graphique.
À l'aide du graphique, répondre aux questions ci-dessous.
- Préciser $f(-1)$ et $f'(-1)$.
- La fonction $f$ est-elle convexe sur son ensemble de définition ? Justifier.
- Conjecturer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ et donner une valeur arrondie à $10^{-1}$ près d'une solution.
Partie B : étude de la fonction $f$
On considère que la fonction $f$ est définie sur $]-2 ~;~+\infty[$ par :
$$ f(x) = x^{2}+ 2x - 1 + \ln (x + 2), $$
où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
- Déterminer par le calcul la limite de la fonction $f$ en $-2$. Interpréter graphiquement ce résultat.
On admet que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$. - Montrer que pour tout $x>-2, \quad f'(x)=\dfrac{2 x^{2}+6 x+5}{x+2}$.
- Étudier les variations de la fonction $f$ sur $]-2 ~;~+\infty[$ puis dresser son tableau de variations complet.
- Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-2 ~;~+\infty[$ et donner une valeur arrondie de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
- En déduire le signe de $f(x)$ sur $]-2~;~ +\infty[$.
- Montrer que $\mathcal{C}_{f}$ admet un unique point d'inflexion et déterminer son abscisse.
Partie C : une distance minimale.
Soit $g$ la fonction définie sur $]-2 ~;~ +\infty[$ par $~g(x)=\ln (x+2)$.
On note $\mathcal{C}_{g}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(\mathrm{0} ~;~ \mathrm{I}~,~ \mathrm{J})$.
Soit $M$ un point de $\mathcal{C}_{g}$ d'abscisse $x$.
Le but de cette partie est de déterminer pour quelle valeur de $x$ la distance $\mathrm{J}M$ est minimale.
On considère la fonction $h$ définie sur $]-2 ~;~ +\infty[$ par $~h(x)=\mathrm{J}M^{2}$.
- Justifier que pour tout $x>-2$, on a :$~~h(x)=x^{2}+[\ln (x+2)-1]^{2}.$
-
- On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $]-2 ~;~ +\infty[$ et on note $h'$ sa fonction dérivée.
- On admet également que pour tout réel $x>-2$, $$ h'(x)=\dfrac{2 f(x)}{x+2} $$ où $f$ est la fonction étudiée en partie B.
- Dresser le tableau de variations de $h$ sur $]-2 ~;~ +\infty[$.
Les limites ne sont pas demandées. - En déduire que la valeur de $x$ pour laquelle la distance $\mathrm{J}M$ est minimale est $\alpha$ où $\alpha$ est le nombre réel défini à la question 4. de la partie B.
-
- On notera $M_{\alpha}$ le point de $\mathcal{C}_{g}$ d'abscisse $\alpha$.
- Montrer que $~\ln (\alpha+2)=1-2 \alpha-\alpha^{2}.$
- En déduire que la tangente à $\mathcal{C}_{g}$ au point $M_{\alpha}$ et la droite $(\mathrm{J}M_{\alpha})$ sont perpendiculaires.
- On pourra utiliser le fait que, dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à $-1$.
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