Sujets de Bac
2024
Combinatoire et dénombrement
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Asie 11 Juin 2024 Jour 2
1 exercice
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
-
Soit $ (u_n) $ une suite définie pour tout entier naturel $ n $ et vérifiant la relation suivante :
$$ \dfrac{1}{2} < u_n \leq \dfrac{3n^2 + 4n + 7}{6n^2 + 1} \text{ pour tout entier naturel } n $$.
Affirmation 1 : $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \dfrac{1}{2} $.
-
Soit $ h $ une fonction définie et dérivable sur l’intervalle $[-4 ; 4]$. La représentation graphique $ \mathcal{C}_{h'} $ de sa fonction dérivée $ h' $ est donnée ci-dessous.
Affirmation 2 : La fonction $ h $ est convexe sur $[-1 ; 3]$.
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Le code d’un immeuble est composé de 4 chiffres (qui peuvent être identiques) suivis de deux lettres distinctes parmi A, B et C (exemple : 1232BA).
Affirmation 3 : Il existe 20 634 codes qui contiennent au moins un 0.
-
On considère la fonction $ f $ définie sur $ \left] 0 ; +\infty \right[ $ par $ f(x) = x \ln x $.
Affirmation 4 : La fonction $ f $ est une solution sur $ \left] 0 ; +\infty \right[ $ de l’équation différentielle
$$ x y' - y = x $$.
Centres Etrangers 6 Juin 2024 Jour 2
1 exercice
Un sac opaque contient huit jetons numérotés de 1 à 8, indiscernables au toucher.
À trois reprises, un joueur pioche un jeton dans ce sac, note son numéro, puis le remet dans le sac.
Dans ce contexte, on appelle « tirage » la liste ordonnée des trois numéros obtenus.
Par exemple, si le joueur pioche le jeton numéro 4, puis le jeton numéro 5, puis le jeton numéro 1, alors le tirage correspondant est $(4;~5;~1)$.
- Déterminer le nombre de tirages possibles.
-
- Déterminer le nombre de tirages sans répétition de numéro.
- En déduire le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro.
- Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire $ X_1 $.
- Déterminer l’espérance de la variable aléatoire $ X_1 $.
- Déterminer l’espérance de la variable aléatoire $ S $.
- Déterminer $ P(S = 24) $.
- Si un joueur obtient une somme supérieure ou égale à 22, alors il gagne un lot.
- Justifier qu’il existe exactement 10 tirages permettant de gagner un lot.
- En déduire la probabilité de gagner un lot.
On note $ X_1 $ la variable aléatoire égale au numéro du premier jeton pioché, $ X_2 $ celle égale au numéro du deuxième jeton pioché et $ X_3 $ celle égale au numéro du troisième jeton pioché.
Puisqu’il s’agit d’un tirage avec remise, les variables aléatoires $ X_1 $, $ X_2 $, et $ X_3 $ sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité.
On note $ S = X_1 + X_2 + X_3 $ la variable aléatoire égale à la somme des numéros des trois jetons piochés.
Polynesie 20 Juin 2024 Jour 2
1 exercice
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui comprend cinq questions. Les cinq questions sont indépendantes.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse exacte.
Aucune justification n'est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte, ni n'enlève aucun point.
- La solution $ f $ de l'équation différentielle $ y'=-3y+7 $ telle que $ f(0)=1 $ est la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par :
- $ f(x) = e^{-3x} $
- $ f(x) = - \dfrac{4}{3} e^{-3x} + \dfrac{7}{3} $
- $ f(x) = e^{-3x} + \dfrac{7}{3} $
- $ f(x) = - \dfrac{10}{3} e^{-3x} - \dfrac{7}{3} $
-
- On considère la fonction $ g $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ g(x) = x^2 \ln \left(x^2 + 4\right) $.
Alors $ \displaystyle\int_0^2 g'(x)\:\text{d}x $ vaut, à $ 10^{-1} $ près :- 4,9
- 8,3
- 1,7
- 7,5
- Une professeure enseigne la spécialité mathématiques dans une classe de 31 élèves de terminale.
Elle veut former un groupe de 5 élèves. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe de 5 élèves ?- $ 31^5 $
- $ 31\times30\times29\times28\times27 $
- $ 31+30+29+28+27 $
- $ \dbinom{31}{5} $
- La professeure s'intéresse maintenant à l'autre spécialité des 31 élèves de son groupe :
- 10 élèves ont choisi la spécialité physique-chimie ;
- 20 élèves ont choisi la spécialité SES ;
- 1 élève a choisi la spécialité LLCE espagnol.
Elle veut former un groupe de 5 élèves comportant exactement 3 élèves ayant choisi la spécialité SES. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe ?
- $ \displaystyle\binom{20}{3} \times \binom{11}{2} $
- $ \displaystyle\binom{20}{3} + \binom{11}{2} $
- $ \displaystyle\binom{20}{3} $
- $ 20^3 \times 11^2 $
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