1. Montrer que pour tout entier naturel $n \geq 6$, $2^n\geq 6n+7$
2. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et par la relation $u_{n+1}=\dfrac{9}{6-u_n}$. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n < u_{n+1} < 3$
3. Montrer que pour tout entier naturel $n\geq 2$ on a $$(1-\frac{1}{2^2})\times (1-\frac{1}{3^2})\times ... \times (1-\frac{1}{n^2}) = \frac{n+1}{2n}$$
4. Montrer que pour tout entier naturel $7^n-1$ est un multiple de $3$
5. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et par la relation $u_{n+1}=2u_n + 1$ pour tout entier naturel. Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

1. Démontrer par contraposée que: $n$ premier $\implies$ $n=2$ ou $n$ est impair.
2. Démontrer que pour tout nombre réel $x$, $\sqrt{x^2+1}-x>0$ par disjonction de cas.
3. Démontrer par contraposée que: $a \not = b \implies (a+1)(b-1)\not = (a-1)(b+1)$
4. Démontrer par l'absurde que $0$ n'a pas d'inverse.
5. Démontrer par l'absurde que pour tout entier naturel $n$, $\sqrt{n^2+6}$ n'est pas entier

1. Démontrer par contraposée que: si $n^3$ est impair alors $n$ est impair.
2. Démontrer par l'absurde que $\sqrt{5}$ est irrationnel.
3. Soit $a$ et $b$ deux réels. Démontrer par contraposée que: si $ab = 0$ alors $a = 0$ ou $b = 0$.

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geq 1$: $$1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $4^n - 1$ est divisible par $3$.
3. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{u_n + 2}{2}$ pour tout entier naturel $n$. Démontrer par récurrence que pour tout $n \geq 0$, $1 \leq u_n \leq 2$.

Pour chacune des propositions suivantes, choisir la méthode de démonstration la plus appropriée (directe, contraposée, absurde, récurrence, disjonction de cas) et la démontrer:

1. Pour tout entier $n \geq 5$, $2^n > n^2$
2. Si $x$ et $y$ sont deux irrationnels, alors $x + y$ n'est pas nécessairement irrationnel
3. Pour tout réel $x$, $x^4 - x^2 + 1 > 0$